От Лапласа до LHC

Автор: К. Г. Злосчастьев
Опубликовано в журнале "Компьютерра" №24 от 28 июня 2005 года.

В наше время трудно найти человека, который не слышал о черных дырах. Но не менее трудно отыскать и того, кто смог бы объяснить, что это такое. Впрочем, для специалистов черные дыры уже давно перестали быть фантастикой - астрономические наблюдения доказали существование как "малых" черных дыр (с массой порядка массы Солнца), которые образовались в результате гравитационного сжатия звезд, так и сверхмассивных (до 109 масс Солнца), которые явились результатом коллапса целых звездных скоплений в центрах многих галактик, включая нашу. Также в настоящее время идет поиск микроскопических черных дыр в потоках космических лучей сверхвысоких энергий (международная обсерватория Pierre Auger, Аргентина), и даже предполагается "наладить производство" черных дыр на строящемся в ЦЕРНе Большом адронном коллайдере LHC, который должен войти в строй к 2007 году. Однако подлинная значимость и роль черных дыр во Вселенной простираются далеко за рамки астрономии и физики элементарных частиц. При изучении черных дыр ученые глубоко продвинулись в понимании таких прежде сугубо философских вопросов, как "что есть пространство и время", "существуют ли границы познания Природы", "какова связь между материей и информацией". Настоящий обзор является попыткой аргументированно осветить наиболее важное в этой теме - фактически он занимает промежуточное место между научно-популярными статьями типа "бог его знает, как они это доказали, но выглядит это круто" и академическими обзорами, насыщенными сложной математикой.

Черные звезды Митчелла-Лапласа

Термин черная дыра был предложен Дж. Уилером в 1967 году, однако первые предсказания существования тел столь массивных, что даже свет не может их покинуть, принадлежат Дж. Митчеллу и П.-С. Лапласу (XVIII век). Их расчеты основывались на теории тяготения Ньютона и корпускулярной природе света и скорее всего были следующими[Автор никоим образом не претендует на историческую достоверность]: рассмотрим частицу света (фотон), испущенную с поверхности звезды радиуса Rs и массы M в направлении удаленных звезд. Каковы должны быть Rs и M, чтобы фотон в конце концов вернулся обратно? В момент "запуска" фотона его кинетическая энергия K1 предполагается равной mc2/2, где m - масса покоя фотона (в действительности она равна нулю, но в то время об этом не знали, а просто предполагали ее очень малой), а c - скорость света. Потенциальная энергия, по Ньютону, U₁ = –G_mM/R_s, где G - гравитационная постоянная. Момент №2, когда фотон улетел так далеко, что его взаимодействием со звездой можно пренебречь (U₂ = 0), выберем таким, чтобы он совпадал с точкой остановки (K₂ = 0). В реальной ситуации последнее условие гарантирует возвращение фотона (U₂ >> 0). Из закона сохранения энергии, K1 + U₁ = K₂ + U₂, мы получаем (заметьте, что m сокращается):

Rs = 2GM/c². (1)

Величина Rs называется радиусом Шварцшильда, или радиусом сферической черной дыры. Однако самое интересное в нашем выводе Rs - что он неверен! Известно, что теория тяготения Ньютона (см. U₁) и классическая механика (которая дает K₁) верны, только когда скорости тел малы по сравнению со скоростью света, а их энергии-массы почти не искривляют пространство-время (П-В). Более того, в рамках теории Ньютона звезда с радиусом (1) будет "черной" только для бесконечно удаленного наблюдателя. В общем, теория заведомо неприменима к реальным черным дырам. И все же формула (1) сама по себе верна[Видимо, при выводе (1) скрытые ошибки, как шутят физики, "проаннигилировали" друг с другом], что было подтверждено К. Шварцшильдом (1916) в рамках общей теории относительности (ОТО) А. Эйнштейна (1915)![Не путать со специальной ТО (1905), которая не учитывает гравитацию и искривление П-В и является частным случаем ОТО] В этой теории (1) определяет, до какого размера должно сжаться тело, чтобы получилась черная дыра. Если для тела радиуса R и массы M выполняется неравенство R/M > 2G/c², то тело гравитационно устойчиво, в противном случае оно коллапсирует в черную дыру.

Черные дыры от Эйнштейна до Хокинга

По-настоящему последовательная и непротиворечивая теория черных дыр невозможна без учета искривляемости пространства-времени. Поэтому неудивительно, что черные дыры естественным образом появляются как частные решения уравнений ОТО. Согласно им, черная дыра - это объект, искривляющий пространство-время в своей окрестности настолько, что никакой сигнал не может быть передан с поверхности или изнутри черной дыры, даже по световому лучу. Иными словами, поверхность черной дыры - это граница пространства-времени, доступного нашим наблюдениям. Вплоть до начала 70-х к этому утверждению невозможно было добавить что-либо существенное: черные дыры были "вещами в себе" - загадочными объектами Вселенной, чья внутренняя структура непостижима в принципе.

Энтропия черных дыр. Однако в 1972 году Я. Бекенштейн выдвинул гипотезу[J.D. Bekenstein, Black holes and the second law//Lett. Nuovo Cim. 4, 737 (1972); Phys. Rev. D 7, 2333 (1973); Phys. Rev. D 9, 3292 (1974)], согласно которой черная дыра обладает энтропией, пропорциональной площади ее поверхности A (для сферической черной дыры Шварцшильда A = 4pRs2):

SЧД = C A/4, (2)

где C = kc3/Gђ - комбинация фундаментальных констант (k - постоянная Больцмана, ђ - постоянная Планка). Теоретики предпочитают работать в планковской системе единиц, в этом случае C = 1. Более того, Бекенштейн предположил, что для суммы энтропий черной дыры и обычной материи, Stot = Sвещество + SЧД, имеет место термодинамический обобщенный второй закон:

DStot B (Stot)конечн - (Stot)начальн I 0, (3)

то есть суммарная энтропия системы не может уменьшаться. Последняя формула полезна также тем, что из нее можно вывести ограничение на энтропию обычной материи.

Рассмотрим так называемый процесс Сасскинда[L. Susskind, The world as a hologram//J. Math. Phys. 36, 6377 (1995)]: имеется сферически-симметричное тело "субкритической" массы, то есть такой, что еще удовлетворяет условию гравитационной устойчивости (см. выше), однако достаточно добавить немного энергии-массы DE, чтобы тело сколлапсировало в черную дыру. Тело окружено сферической оболочкой (чья суммарная энергия как раз равна DE), которая падает на тело. Энтропия системы до падения: (Stot)начальн = Sвещество + Sоболочка, после: (Stot)конечн = SЧД = A/4. Из (3) и неотрицательности энтропии получаем знаменитое ограничение сверху на энтропию вещества:

Sвещество J A/4. (4)

Формулы (2) и (3), несмотря на их простоту, породили загадку, оказавшую огромное влияние на развитие фундаментальной науки. Из курса статистической физики известно, что энтропия системы является не первичным понятием, а функцией от степеней свободы микроскопических составляющих системы - например, энтропия газа определяется как логарифм числа возможных микросостояний его молекул. Таким образом, если черная дыра имеет энтропию, то она должна иметь внутреннюю структуру! Прогресс в понимании этой структуры наметился только в последние годы[Теория струн (и ее обобщение, М-теория) объясняет микросостояния и формулу (2) для ряда моделей ЧД; см. напр. A.W. Peet, TASI lectures on black holes in string theory//arXiv.org: hep-th/0008241], а тогда идеи Бекенштейна были скептически восприняты физиками. Стивен Хокинг, по его собственному признанию, решил опровергнуть Бекенштейна его же оружием - термодинамикой.

Излучение Хокинга. Коль скоро (2) и (3) наделены физическим смыслом, первый закон термодинамики диктует, что черная дыра должна иметь температуру, T. Но позвольте, какая может быть температура у черной дыры?! Ведь в таком случае она должна излучать, что противоречит ее главному свойству! Действительно, классическая черная дыра не может иметь ненулевую T. Но если предположить, что микросостояния черной дыры подчиняются законам квантовой механики, что, вообще говоря, почти очевидно, то противоречие легко устранимо[S.W. Hawking, Particle creation by black holes//Commun. Math. Phys. 43, 199 (1975)]. Согласно квантовой механике (точнее, ее обобщению - квантовой теории поля, КТП), может происходить спонтанное рождение частиц из вакуума. При отсутствии внешних полей пара "частица-античастица", рожденная таким образом, аннигилирует обратно в вакуумное состояние. Однако если поблизости есть черная дыра, то ее поле притянет ближайшую частицу. Тогда, по закону сохранения энергии-импульса, другая частица уйдет на большее расстояние от черной дыры, унося с собой часть ее энергии-массы[Распишем энергетический баланс для этого процесса. До рождения пары имеется ЧД массы M1, после - ЧД с M2 плюс та из частиц, которая не упала на нее. Из M1 = M2 + Eчаст и Eчаст > 0 получаем M2 < M1]. В результате удаленный наблюдатель зарегистрирует поток излучения от черной дыры, которая будет расходовать массу на рождение пар частиц, пока полностью не испарится, превратившись в облако излучения[Вопрос о том, испарится ли ЧД полностью, еще обсуждается и тесно связан с парадоксом потери информации; см., например, M. Maia, Information storage in black holes//arXiv.org: gr-qc/0505119]. Температура черной дыры обратно пропорциональна ее массе, а значит, более массивные дыры испаряются медленнее, так как время жизни черной дыры пропорционально кубу массы (в 4-мерном пространстве-времени). Например, время жизни черной дыры с массой порядка солнечной превосходит возраст Вселенной, тогда как микро-ЧД с массой 1 тераэлектрон-вольт живет около 10–27 с.

Объединение взаимодействий и "информационоемкость" материи

Локальная квантовая теория поля прекрасно зарекомендовала себя при описании известных элементарных взаимодействий, кроме гравитационного. Стало быть, фундаментальная квантовая теория с учетом ОТО тоже относится к этому типу? Если принять эту гипотезу, то нетрудно показать, что максимальное количество информации, которое можно запасти в куске вещества объема V, равно V (измеренному в планковских единицах объема VP ~10–99 см3) с точностью до множителя, зависящего от конкретной теории, то есть:

Sвещество ~ V. (5)

Однако эта формула вступает в противоречие с (4), так как в планковских единицах A намного меньше V для известных физических систем[Соотношение A/V составляет порядка 10–20 для протона, и 10–41 для Земли]. Так какая же из формул верна - (4), базирующаяся на ОТО и свойствах черных дыр в квазиклассическом приближении, или (5), основанная на наивной экстраполяции обычной квантовой теории поля до планковских масштабов (10–33 см)? В настоящее время имеются сильные аргументы в пользу того, что неверна скорее (5), чем (4).

Это, в свою очередь, может означать, что подлинно фундаментальная теория материи - не просто очередная модификация квантовой теории поля, сформулированной "по объему", а некая теория, "живущая" на определенной поверхности, ограничивающей этот объем. Эта гипотеза получила название голографического принципа[G. ’t Hooft, Dimensional reduction in quantum gravity//arXiv.org: gr-qc/9310026], по аналогии с оптической голограммой, которая, будучи плоской, тем не менее дает объемное изображение. Принцип сразу же вызвал большой интерес, так как теория "на поверхности" - это нечто принципиально новое, вдобавок сулящее упрощение математического описания (ввиду понижения пространственной размерности на единицу, поверхности имеют меньшее число геометрических степеней свободы). В полной мере голографическая гипотеза пока не доказана, но уже существуют два общепризнанных подтверждения - ковариантный предел энтропии вещества[R. Bousso, A covariant entropy conjecture//JHEP 9907, 004 (1999)] и AdS/CFT-соответствие[J.M. Maldacena, The large N limit of superconformal field theories//Adv. Theor. Math. Phys. 2, 231 (1998)]. Первый дает рецепт вычисления статистической энтропии (4) для общего случая материального тела, как определенной величины, вычисляемой на светоподобных мировых поверхностях, ортогональных поверхности тела. Второе - это реализация голографии для некоего частного случая пространств постоянной кривизны, тесно связанная с теорией струн.

Черные дыры и предел делимости материи

На заре прошлого века вождь мирового пролетариата, вероятно находясь под впечатлением открытий Резерфорда и Милликена, рождает знаменитое "электрон так же неисчерпаем, как и атом"[В.И. Ленин, Материализм и эмпириокритицизм. - М.: Издательство политической литературы, 1984]. Этот лозунг висел в кабинетах физики почти всех школ Союза. Увы, слоган Ильича так же неверен, как и его экономические воззрения. Действительно, "неисчерпаемость" подразумевает наличие бесконечного количества информации в любом сколь угодно малом объеме вещества V. Однако максимум информации, которую может вместить V, ограничен сверху, согласно (4).

Каким же образом существование этого предела "информационоемкости" должно проявляться на физическом уровне? Начнем немного издалека. Что такое современные коллайдеры, то есть ускорители элементарных частиц? По сути, это очень большие микроскопы, задача которых - увеличить разрешение по длинам, Dx. А как можно увеличить разрешение? Правильно, из принципа неопределенности Гейзенберга, D_xD_p = const (в общем случае I), вытекает: если хочешь уменьшить D_x, надо увеличить импульс p и, как следствие, энергию E частиц. И вот представим, что некто построил коллайдер неограниченной мощности. Сможет ли он, открывая все новые и новые частицы, бесконечно извлекать информацию и приводить в тихий ужас Шведскую Академию наук? Увы, нет. Непрерывно увеличивая энергию сталкивающихся частиц, он рано или поздно достигнет стадии, когда в области столкновения расстояние между какими-нибудь из частиц станет сравнимо с соответствующим радиусом Шварцшильда, что немедленно приведет к образованию черной дыры. Начиная с этого момента, сколько ни увеличивай мощность, новой информации уже не получишь - всю энергию поглотит черная дыра. Последняя при этом будет интенсивно испаряться, возвращая энергию в окружающее пространство в виде потоков субатомных частиц (рис. 2). Таким образом, существование черной дыры, вкупе с законами квантовой механики, неизбежно означает существование экспериментального предела дробления материи.

Небольшое отступление. Похоже, Природа явно избегает "неисчерпаемостей" и прочих бесконечностей. По сути, бесконечность - чисто математическое понятие, трансфинитное число Кантора; в реальности же это, как правило, не более чем идеализация большой, но конечной величины. Любопытно, что изгнание тех или иных бесконечностей из физики порой ведет к смене научной парадигмы. Например, замена бесконечной скорости распространения взаимодействия на конечную привела к замене теории Ньютона на ОТО. Другой пример: систематический подход к устранению бесконечных расходимостей в квантовой теории поля привел к появлению таких ныне неотъемлемых понятий физики элементарных частиц, как петлевые поправки и "бегущая" константа связи.

Фабрики черных дыр на Земле?

Итак, мы выяснили, что ускорители элементарных частиц в принципе способны производить микроскопические черные дыры. Вопрос: какую они должны развивать энергию, чтобы получать хотя бы одно ЧД-событие в месяц? До недавнего времени считалась, что эта энергия чрезвычайно велика, порядка 10¹⁶ тераэлектрон-вольт (для сравнения: LHC может дать не больше 15 ТэВ). Но если окажется, что на малых масштабах (меньше миллиметра) наше пространство-время имеет число измерений больше четырех, то порог необходимой энергии значительно уменьшается и может быть достигнут уже на LHC[S. Dimopoulos and G. Landsberg, Black holes at the LHC//Phys. Rev. Lett. 87, 161602 (2001)]. Причина заключается в усилении гравитационного взаимодействия, когда предполагаемые дополнительные пространственные измерения вступят в игру[N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos and G.R. Dvali, The hierarchy problem and new dimensions at a millimeter//Phys. Lett.B 429, 263 (1998); I. Antoniadis, et al, New dimensions at a millimeter to a Fermi and superstrings at a TeV//Phys. Lett. B 436, 257 (1998)]. Так, если обычная сила гравитационного притяжения между массивными телами в 4-мерном П-В обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, то при наличии n дополнительных компактных измерений она модифицируется в Fграв ~ 1/r2+n при r J rn, где rn - максимальный размер вдоль измерений. Тогда с уменьшением r Fграв растет гораздо быстрее, чем по закону обратных квадратов, и уже на расстояниях порядка 10–17+32/n см компенсирует силу электростатического отталкивания. А именно последняя ранее была причиной высокой пороговой энергии, так как, чтобы преодолеть кулоновские силы и приблизить сталкивающиеся частицы на необходимое расстояние r = Rs, надо было сообщить частицам пучка бо,льшую кинетическую энергию. В случае же существования дополнительных измерений ускоренный рост Fграв экономит значительную часть необходимой энергии.

Все вышесказанное никоим образом не означает, что микро-ЧД будут получены уже на мощностях LHC - это произойдет лишь при самом благоприятном варианте теории, которую "выберет" Природа. Кстати, не следует преувеличивать опасность микро-ЧД в случае их получения[Из архива черного юмора физики: LHC = Last Hadron Collider], так как они испаряются очень быстро. В противном случае Солнечная система давно бы прекратила существование - в течение миллиардов лет планеты бомбардируются космическими частицами, чьи энергии на много порядков выше энергий, достигаемых на земных ускорителях.

Черные дыры и космология

Теория струн и большинство динамических (так называемых инфляционных) моделей Вселенной предсказывают существование особого типа фундаментального взаимодействия - глобального скалярного поля (ГСП). В масштабах планеты и Солнечной системы его эффекты ничтожны и труднообнаружимы, однако в космических масштабах влияние ГСП возрастает неизмеримо, так как его удельная доля в средней плотности энергии во Вселенной может превышать 70%! Например, от него зависит, будет ли наша Вселенная расширяться вечно или в конце концов сожмется в точку.

Черные дыры появляются в этой связи весьма неожиданным образом. Можно показать[K. Zloshchastiev, Coexistence of black holes and scalar field in cosmology//Phys. Rev. Lett. 94 121101 (2005)], что необходимость сосуществования черных дыр и скалярного поля накладывает взаимные ограничения на их свойства. В частности, существование черных дыр накладывает ограничение на верхний предел эффективной космологической постоянной (параметра ГСП, ответственного за расширение Вселенной), тогда как скалярное поле ограничивает нижний предел массы черных дыр (а значит, и энтропии и обратной температуры) некой положительной величиной. Иными словами, черные дыры, будучи локальными[Строго говоря, горизонт ("поверхность" ЧД) все же является глобально определенным понятием; см. С. Хокинг, Дж. Эллис, Крупномасштабная структура пpoстранства-времени. - M.: Мир, 1976] и, по меркам Вселенной, крошечными объектами, тем не менее уже самим фактом своего существования влияют на ее динамику и глобальные свойства опосредовано, через ГСП.

Эпилог

Эйнштейн однажды сказал, что человеческий разум, однажды "расширенный" гениальной идеей, уже никогда не сможет сжаться до первоначального состояния[Эта фраза в чем-то перекликается с нашей знаменитой "Талант не пропьешь!"]. Это прозвучит немного парадоксально, но исследование предельно сжатого состояния материи было, есть и долгое время будет одним из главных путей и стимулов расширения границ человеческого интеллекта и познания фундаментальных законов мироздания.