Математические развлечения в Сети
Автор: Константин Кноп
Опубликовано в журнале "Компьютерра" №43 от 16 ноября 2004 года.
Problem of the…
Обзор сетевых ресурсов для любителей математики начнем с небольшой подборки англоязычных конкурсов математических задач и головоломок (на русском их в Сети, увы, нет). Эти конкурсы, как правило, обозначаются аббревиатурами POW или POM, где PO означает «Problem of (the)» (Иногда — «Puzzle of the…»), а W/M означает периодичность появления на страничке новых задач — еженедельно (week) или ежемесячно (month).
Сводный список почти всех таких конкурсов содержится в каталоге Google; мы же остановимся на некоторых наиболее крупных, популярных или примечательных с какой-то иной точки зрения.
Еженедельные конкурсы от Math Forum
mathforum.org/pow
Здесь одновременно проводятся пять разных конкурсов — по алгебре, геометрии, элементарной математике, «пре-алгебре» (то есть по курсу, предваряющему стандартный курс алгебры), а также конкурс от колледжа Macalester, в котором новые задачи появляются каждую неделю, но решать их можно в течение всего семестра.
Вот одно из последних заданий по алгебре:
Рассмотрим класс таких последовательностей, в которых каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих (Самая известная последовательность из этого класса называется числами Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …). Например: 2, 5, 7, 12, 19, …, где 7 = 2 + 5, 12 = 5 + 7 и так далее. Если первый член такой последовательности равен 1, а десятый — 111, то чему равен второй член?
А вот свежая геометрическая задача:
Угол ∟1 равен 2x+10, угол ∟2 равен 5x-40, а угол ∟4 равен 60 градусам. Найдите (в градусах) величины углов ∟1, ∟2 и ∟3.
Один из самых уважаемых конкурсов известного американского университета. Каждый семестр в конкурсе появляется четырнадцать новых задач (действительно новых, а не переписанных из известных сборников). Задания этого конкурса (как и некоторых других в нашем списке) предназначены для американских студентов, поэтому вполне по силам нашим старшеклассникам (Так уж сложилось, что наши четырнадцатилетние школьники знают математику примерно в том же объеме, что и первокурсники американских колледжей).
Вот последняя из октябрьских задач:
Существует ли множество, состоящее из более чем четырех точек пространства, такое, что любые четыре точки образуют тетраэдр единичного объема?
Замечу, что аналогичная задача для плоскости (в которой вместо тетраэдра рассматривается треугольник, а вместо четырех точек — три) давно известна. В качестве ее решения годятся, например, четыре вершины квадрата.
В октябре предлагалась такая задача:
Найти все целые m и n, для которых 2m = 3n + 5.
Нетрудно увидеть, что годятся значения n = 1 и n = 3, при этом получаются m = 3 и m = 5 соответственно. Однако именно здесь и начинается интересная математика: существуют ли другие решения? Если да, то какие? Если нет, то почему?
По моим наблюдениям, авторы этого конкурса специально делают его с креном в сторону развлекательных задач и математических головоломок. Вот, например, первая из двух октябрьских задач:
Сузи, только что поступившую в университет Хемлайн, попросили помочь разобраться с урной, в которой находились 75 белых и 150 черных фишек. Сузи должна доставать фишки из корзины по две, и если хотя бы одна из двух взятых ею фишек черная, то ее она оставляет себе, но другая фишка немедленно должна быть возвращена в корзину. Если же обе взятые фишки белые, то они остаются у Сузи, однако взамен она должна положить в корзину одну черную фишку (для этого у нее имеется необходимый запас черных фишек). Так Сузи поступает до тех пор, пока в корзине не останется только одна фишка. Какого цвета она будет?
На сайте Фридмана «Магия математики» публикуются задачи, которые интересно решать независимо от возраста и образования. Как правило, конкурсное задание состоит из нескольких задач на одну тему. Обычно они хорошо исследуются при помощи компьютера, однако решить их, не напрягая мозгов, не удается. Например, октябрьские задачи были посвящены повторяющимся блокам в квадратах натуральных чисел.
Число 162622 = 2644 5 2644 начинается и заканчивается одними и теми же четырьмя цифрами. Нужно отыскать наименьшее натуральное число, квадрат которого начинается и заканчивается одними и теми же N цифрами.
Число 2501252 = 625 625 15 625 содержит три «копии» трехзначного числа 625. Каким будет наименьший квадрат, содержащий C копий N-значного числа?
Какие квадраты содержат C*N цифр, при этом в разбиении их на C блоков по N цифр встречаются только два различных N-значных блока? Например, 7277272
529 586 586 529 состоит только из трехзначных блоков 529 и 586.
Конкурсы устраивают не только университетские профессора, но и уважаемые корпорации. Говорят, таким образом они заманили уже не один десяток светлых голов… Я готов в это поверить: в конкурсе от IBM, как правило, даются весьма трудные «многоходовые» задачи. В общем, не зря он позиционируется как конкурс для лучших умов исследовательского отделения IBM. Впрочем, даже эти гробовитые задачи вполне традиционны. Например, в сентябре предлагалось усиление одной из задач, восходящих к колонке Мартина Гарднера из «Scientific American» 1979 года.
Здесь, как правило, публикуются математические ребусы и другие головоломки, а победители конкурса посвящаются в «Рыцари Форта» (FortKnight [В оригинале — игра слов: fortnight — две недели, fort — крепость, knight — рыцарь]). Последний из конкурсных ребусов был таким:
? x x ?
? ? ?
——————
? ? x ? ?
? ? ? ? x
x ? ? ? x
——————
? ? ? ? ? ? ?
В примере на умножение одна из цифр обозначена буквой X, а остальные остались неизвестными. Восстановите пример.
Этот конкурс (точнее, группа конкурсов) — не только математический, в нем бывают задачи из самых разных областей знаний. За официальное участие в конкурсе нужно заплатить определенную сумму, а большая часть собранных средств распределяется между победителями. Этакое «Лотто-миллион», только роль случайности сведена к минимуму. Кстати, призовые суммы весьма и весьма немаленькие (в долларах — пятизначные), что свидетельствует о большой популярности конкурса. Впрочем, участвовать официально и платить вроде не обязательно: задания видны всем посетителям после (бесплатной) регистрации на сайте.
Я рискнул упомянуть шахматную страничку среди прочих развлечений, потому что здесь не требуется никаких специальных шахматных познаний, достаточно помнить, как ходят фигуры. Ретрозадачами называется такая разновидность шахматных задач, в которых требуется не сделать несколько следующих ходов из данной позиции, а догадаться, какие ходы были сделаны последними. Сравнительно недавно появился еще такой подвид ретрозадач, как раскраска фигур. В них дополнительно требуется определить, какие фигуры в позиции — белые, а какие — черные. Помочь в этом может положение пешек, нахождение фигур под шахом и другие особенности позиции.
Вот свежее задание «ретроуголка»:
Требуется раскрасить фигуры и отыскать последний ход. (Решение уже опубликовано; см. www.janko.at/Retros/Misc/Husserl1sol.htm.)
Конкурс для любителей программировать задачи, имеющие математическое содержание. Как известно, Леонард Эйлер был не только великим математиком, но и прекрасным «вычислителем», потрясавшим своих современников тем, с какой скоростью он мог выполнять в уме сложнейшие расчеты. Вот одна из типичных задач проекта:
Найдите единственную тройку натуральных чисел (a, b, c), для которой a2 + b2 = c2 и a + b + c = 1000 [Тройки натуральных чисел, удовлетворяющие первому из условий, называются пифагоровыми, так как соответствуют катетам и гипотенузе прямоугольного треугольника (надеюсь, вы еще не забыли теорему Пифагора?)].
Программистские конкурсы
«Компьютерра» уже не раз писала об этой разновидности онлайн-соревнований (см., например, статью Дениса Коновальчика «Конкурс POTM и его братья», www.computerra.ru/offline/2001/402/10997), поэтому я ограничусь лишь упоминанием соответствующего каталога Google и несколькими ссылками на русском языке, посвященными олимпиадам по информатике:
санкт-петербуржский сайт школьных олимпиад (www.neerc.ifmo.ru/school);
московский сайт «Олимпиадная информатика» (www.olympiads.ru);
екатеринбуржский сайт «Уральские олимпиады» (www.contest.ur.ru).
Настольные игры в вашем браузере
Вряд ли среди моих читателей найдется хоть кто-нибудь, кто ни разу не играл с компьютером в шашки, шахматы, реверси («Отелло») или крестики-нолики. Наверняка всем читателям известно и то, что современные программы умеют играть в такие игры весьма недурственно (Недавний пример: две шахматные программы сыграли матч-турнир против нескольких гроссмейстеров, входящих в мировую шахматную элиту, и убедительно его выиграли. Кажется, со счетом 6,5:3,5). Понятно, что сражаться с программами-монстрами рядовому игроку неинтересно, а сознавать, что уступаешь программе, даже когда она играет на самом слабом уровне, — еще и очень обидно. Что же делать? А вот что: играйте с примитивными программками, написанными на JavaScript и Java и разбросанными по всей сети. Выиграть у большинства из них очень легко, а если вы хотите просто узнать правила новой для себя игры и немного потренироваться, то ничего лучшего и не надо.
Шахматы. Рекомендую для начала www.browserchess.com. Как надоест — смотрите ссылки оттуда на другие сайты.
Шашки (стоклеточные). www.chez.com/jackbrc/essai10k.html.
Нарды, они же — бэкгэммон. www.purebackgammon.com.
Го. В эту знаменитую игру в Сети можно играть и по электронной почте друг с другом, и против компьютера. www.britgo.org/gopcres/play.html.
Крестики-нолики. www.ostermiller.org/calc/tictactoe.html .
Скрэббл, он же — «Эрудит» или «Крестословица». www.isc.ro.
Морской бой. www.battleships.f-active.com.
Реверси (от Yahoo!). www.games.yahoo.com/games/login?game=reversi.
Рэндзю, aka «Пять в ряд». www.renju.net.ru.
Монополия. www.donotgo.com/seg/xlifeb.htm.
Китайские шахматы (Xiang Qi). www.clubxiangqi.com.
Китайские шашки, или «Солитер» (кажется, под таким названием у нас выпускалась игрушка, в которой надо было убрать с доски как можно больше фишек, перепрыгивая через них другими фишками, как в игре «Уголки».) www.tdbs.is.nl/scripts/interactief/game/Solitair/index_EN.asp. Другая версия игры — www.justglass.com/flash/pegs.html.
Быки и коровы, или «Мастермайнд». www.interjeux.net/jeux/mastermind/index_en.html.
Манкала, или калах — одна из знаменитых настольных игр древности наряду с го, шашками и нардами. www.lookoutnow.com/game/man.htm.
Менее известные игры
Cosmic Encounter. www.cosmicencounter.com.
Mornington Crescent. www.amazonsystems.co.uk/data/morn.
Quod. www.wizard.ae.krakow.pl/~jb/Quod.
Ludo. www.dohms.com.
Hnefatafl. www.irt.org/games/js/hnefat.
Другие сайты, предоставляющие возможность поиграть сразу в несколько различных игр, указаны в ссылках на www.dir.google.com/Top/Games/Video_Games/Recreation/Browser_Based/Board_Games/Collections.
Иные околоматематические развлечения
Воистину бесконечный мир живописи Мориса Эшера, в котором причудливые реальные объекты перемежаются с еще более причудливыми невозможными картинами и плавно перетекают один в другой, как рыбы и птицы на этом рисунке. В галерее вы найдете все наиболее известные работы Эшера — и руки, рисующие одна другую, и муравьев, ползущих по ленте Мёбиуса, и водопад, текущий снизу вверх, и многое другое… При чем здесь математика, спросите вы? Сходите на сайт — увидите сами…
«Математический Мир» и его соседи
www.mathwoorld.wolfram.com, www.scienceworld.wolfram.com, www.functions.wolfram.com, www.integral.wolfram.com, www.gallery.wolfram.com и другие сайты, см. список на www.wolfram.com/webresources.html
Стивену Вольфраму, одному из разработчиков программы Mathematica и автору замечательной книги «A New Kind of Science» («Наука нового типа» [«Чукча даже знает этого типа...»]), принадлежит издательство, выпускающее литературу по современной математике. Именно поэтому под крылышком Вольфрама ныне обитает один из популярнейших интернет-ресурсов, доступно и подробно рассказывающий о математике для непрофессионалов, — математическая онлайн-энциклопедия mathworld.wolfram.com. Недавно там открылись и смежные сайты. Например, integral, позволяющий интегрировать функции, gallery — замечательная подборка «математических картинок» (Как ее умудрился пропустить такой фанат визуализации математики, как Евгений Скляревский, для меня непостижимо), а functions — рассказ о свойствах различных математических функций (более 87 тысяч разнообразных фактов — а ведь это почти столько же, сколько статей в Большой Советской энциклопедии!).
WWW Interactive Mathematics Server полностью оправдывает свое громкое название. Вся интерактивная математика, которая только возможна, на нем есть. И даже больше… Тут есть и калькулятор для действий с матрицами, и переводчик из одной системы исчисления в другую, и инструментарий для геометрических построений, и «сумматор», позволяющий считать конечные и бесконечные суммы.
Сколько различных центров может быть у треугольника? Думаете, всего один? Ставлю вам двойку. Три? Четыре? Ладно, так и быть — тройка с минусом. Любители математики, наверное, насчитают семь или восемь точек, которые могут претендовать на звание того или иного центра треугольника. А вот Кларк Кимберлинг (Clark Kimberling) собрал в своей книге информацию о четырехстах таких точках, а на сайте и вовсе описал более тысячи! Kстати, при отыскании новых центров и их свойств вовсю используются математические пакеты. «Лежат ли такие-то три точки на одной прямой?» «Проходят ли такие-то три прямых через общую точку?» — на эти и другие похожие вопросы можно получить ответ не вручную, а программно.
Последовательности тоже удостоились отдельной энциклопедии. Впрочем, книга, написанная автором сайта Нилом Слоуном (Neal Sloane), вышла еще до наступления PC-эры.
Вычислите на своем любимом калькуляторе что-нибудь типа log(sqrt(2)*Pi). А теперь впишите это число в строчку ввода на сайте «обратного калькулятора». Как вы думаете, что получится? Не поленитесь, поглядите сами. Или можете туда вписать что-нибудь не очень внятное, типа 142857142857, — и тоже посмотреть на результат.
В каждой области математики есть свои постоянные величины. Полного их списка не знает, вероятно, ни один математик. Однако к недостижимому идеалу можно приблизиться. В общем, места знать надо…
Очень забавная java-игрушка, «сюжет» которой сводится вот к чему: имеются три картинки, на лицевой стороне которых находятся вопросительные знаки, а на обратной (невидимой для игрока) — смайлики, один веселый и два грустных. Игрок делает два хода. Первым ходом он указывает на любую из трех картинок, а в ответ одна из двух других картинок — та, на которой изображен грустный смайлик, — поворачивается обратной стороной к игроку. То есть после первого хода игрок всегда видит одну открытую картинку с грустным смайликом. Вторым ходом он должен угадать, за какой из двух остальных картинок спрятан веселый смайлик. Казалось бы: картинок две, о них ничего не известно — значит, шансы 50/50. Как бы не так! Попробуйте поиграть в эту игру, всегда меняя ту картинку, на которую вы показали в первый раз, и после нескольких игр вы убедитесь, что шансы на выигрыш — около 2/3. А если вы знаете теорию вероятностей, вам будет небезынтересно разобраться в том, почему так получается.
Словесные игры
Этот раздел не имеет прямого отношения к математике, однако любители математики, познакомившись с описанными тут играми, неизменно признают их «своими».
Кажется, целая вечность прошла с тех пор, когда я публиковал в «Компьютерре» подборки задач-данеток. В этих замечательных играх предлагается коллективно разгадывать запутанные (а часто — криминально запутанные) ситуации, задавая ведущему вопросы, на которые тот может отвечать только «да», «нет» и «не имеет значения». В те времена я просил друзей и знакомых искать новые данетки, потому что никаких источников на русском не существовало, а англоязычные сайты, как сговорившись, приводили одну и ту же подборку задач из книги «Lateral Thinking Puzzles» (Русский перевод: Пол Слоун. Загадки для нестандартно мыслящих. — Мн.: Попурри, 1998)… Сравните: за полтора года существования сайта Данетка.Ру на нем отгаданы почти 900 данеток, для чего решателям потребовалось задать почти 50 тысяч вопросов!
Другой сайт, на котором среди прочих задач можно найти и около сотни данеток по-русски, — www.izvilina.com. Правда, новых задачек там практически нет, зато вся «классика жанра» — на месте, и притом (для лентяев) сразу с ответами.
А еще одно место, на котором иногда разгадывают данетки по-русски — ЖЖ-сообщество «Ру-Данетка», то есть www.livejournal.com/community/ru_danetka.
«Мафия» (Игра не имеет ничего общего с популярным 3D-шутером)
Описывать эту игру — дело утомительное, скучное и совершенно неблагодарное: любителям «мафии» все скажет уже само название. Всех остальных я прошу просто поверить, что эта игра захватывает похлеще квестов и паззлов. Поэтому отсылаю сразу к правилам: www.bratok.com/mafia/mafgame.shtml. Еще одно изложение для новичков — www.mafia-album.narod.ru . Здесь — собственно игра в онлайне и по электронной почте: www.kozanostra.ru и www.mafiaclub.ru. На первом адресе, кстати, предлагаются еще две похожие коллективные игры — «Трын-трава» (Как нетрудно понять, зайцы играют против волков, а цель — накосить побольше трын-травы…) и «Остракизм». Правила, ЧаВО, форумы, комментарии — в общем, все как полагается…
|