Пи-клуб, питомник пижонов 13.05.2003 Евгений Скляревский
Большинство из нас будут удивлены, узнав, сколько людей интересуетется числом p. В школе на нелюбимой многими геометрии мы уяснили, что это отношение длины окружности к диаметру, что ж тут может быть интересного? Но познакомившись поближе с этим виртуальным героем, мы будем удивлены еще больше, ибо история человечества предстанет нам как череда усилий величайших умов по уточнению знаков числа p и поисков алгоритмов для этого процесса. Знакомство с загадочным числом предлагаю проводить в виде прогулок по виртуальному клубу, посвященному p. Что же это за клуб такой? Самый настоящий Пи-клуб (не путать с Пиквикским и клубом любителей пива, хотя членство в них допускается). Кто же является членом самого престижного клуба. Во-первых, конечно, все Петры Ильичи, Пал Иванычи, Пулаты Ибрагимовичи и Пелагеи Иннокентьевны плюс Пироговы, Пилюлькины, Пинхасовы и Писаренки плюс любители пикников с пирожными и пирожков с пивом — они зачисляются автоматически. Так же как и пианисты, пилигримы, писатели и прочие пигмеи, вопрос о пионерах и пиратах пока не решен. Ну и конечно, все, кто хоть раз проводил окружность и задумался о таинственном и непредсказуемом числе p. В первом зале, естественно, само число p. Рассмотрите внимательно его первую тысячу знаков, проникнитесь поэзией этих цифр, ведь за ними стоят тени величайших мыслителей Древнего мира и Средневековья, Нового и настоящего времени. p= 3. Зачем, спросит обыватель, нам столько знаков p, ведь известно, что для расчета полета на край нашей Галактики с точностью, равной диаметру протона, достаточно знать сорок знаков числа, а при расчете земной орбиты вокруг Солнца с точностью до миллиметра достаточно четырнадцати знаков? А уже в XXVII веке были получены первые 34 знака. Трудно объяснить деловым людям, ожидающим непременную сиюминутную выгоду от каждого движения, что число p, как и простые числа, совершенные, дружественные, числа Мерсенна, — это вызов нашему интеллекту, волнующая загадка устройства мира, в конце концов, это очень интересно. (Простые числа в последнее время находят практическое применение — на их основе генерируются криптопротоколы для защиты информации.) Какое бы сочетание цифр мы бы ни выдумали — оно непременно встретится в знаках числа p, то есть можно ожидать появление любой наперед заданной последовательности цифр. Например, самые распространенные расстановки встретились в следующих по счету цифрах: 01234567891 — начиная с 26852899245-й Попробуйте поискать в первых десяти тысячах знаков p свой телефон или дату рождения; если не получится — ищите в ста тысячах знаков. Есть гипотезы, предполагающие, что в числе p скрыта любая информация, которая когда-либо была или будет доступна людям. В том числе и различные предсказания — надо лишь найти их и расшифровать; имея под рукой компьютер — это не составит большого труда. Хочется только напомнить, что один исследователь в ответ на сообщения о наличии в Библии зашифрованных предсказаний сказал, что он с помощью программы нашел в Библии предсказание о том, что в ней нет никаких предсказаний. Но это вовсе не значит, что мы должны прекратить наши опыты с p. В следующем зале — история открытия и уточнения числа p. В нем можно ознакомиться с интригующими подробностями уточнения p, начиная от 16/9= 3,1604 у египтян, 22/7 =3,1428 у греков, =3,162 у индусов, 355/113=3,14159 у китайцев, и до астрономической точности нашего времени. Обозначение числа p происходит от греческого слова perijerio («окружность»). Впервые это обозначение использовал в 1706 году английский математик У. Джонс, но общепринятым оно стало после того, как его (начиная с 1736 года) стал систематически употреблять Леонард Эйлер. В конце XVIII века И. Ламберт и А. Лежандр установили, что p — иррациональное число, а в 1882 году Ф. Лидерман доказал, что оно трансцендентное, то есть не может удовлетворять никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. На протяжении всей истории изучения числа p, вплоть до наших дней, велась своеобразная погоня за десятичными знаками этого числа. Леонардо Фибоначчи около 1220 года определил три первых точных десятичных знака числа p. В XVI веке Андриан Антонис определил шесть знаков. Франсуа Виет (подобно Архимеду), вычисляя периметры вписанного и описанного 322216-угольников, получил девять точных десятичных знаков. Андриан ван Ромен таким же способом получил пятнадцать десятичных знаков, вычисляя периметры 1073741824-угольников. Лудольф Ван Кёлен, вычисляя периметры 32512254720-угольников, получил двадцать десятичных знаков. Авраам Шарп получил 72 десятичных знака числа p. В 1844 году З. Дазе вычисляет двести знаков после запятой числа p, в 1847 году Т. Клаузен получает 248 знаков, в1853-м Рихтер вычисляет 330 знаков, в том же 1853 году 440 знаков получает З. Дазе и 513 знаков — У. Шенкс. С появлением компьютеров темпы возросли: Они же добились в 1991 году 2260000000 знаков, а в 1994 году — 4044000000 знаков. Дальнейшие рекорды принадлежат японцу Тамуре Канада: в 1995 году 4294967286 знаков, в 1997-м — 51539600000, и последний на сегодня рекорд — 206158430000 знаков. Суперкомпьютер (проект HINTS — High-performance Numerical Tools & Software для сверхмощных научных и инженерных вычислений, www.hints.org/HINTSw.html) в сентябре 1999 года работал 37 часов 21 минуту 4 секунды, используя 865 Гбайт памяти для основной задачи, и 46 часов и 816 Гбайт для вспомогательной оптимизации вычислений. Следующий зал посвящен методам вычислений p. Начиная с Архимеда математики вписывали в круг правильный многоугольник и находили отношение периметра к радиусу. Например, в первой половине XV века в обсерватории Улугбека, что близ Самарканда, астроном и математик ал-Каши вычислил число p с шестнадцатью десятичными знаками. Он сделал 27 удвоений числа сторон многоугольников и дошел до многоугольника, имеющего 3*228 углов. Спустя полтора столетия Франсуа Виет нашел число p только с девятью правильными десятичными знаками, сделав шестнадцать удвоений числа сторон многоугольников. Но при этом Виет первым заметил, что число p можно отыскать, используя пределы некоторых рядов. Это открытие имело огромное значение, так как позволило вычислять p с какой угодно точностью. Однако только через 250 лет после ал-Каши его результат был превзойден.
|